Có bao nhiêu số nguyên $y$ nằm trong khoảng $(-2021;+\infty )$ sao cho với mỗi giá trị của $y$ tồn tại nhiều hơn hai số thực $x$ thỏa mãn $x^2+y+(x^2-x)\cdot 2020^{x+y}=(2x^2-x+y)\cdot 2020^{x-x^2}$?

Chia hai vế cho $2020^{x-x^2}$ và đặt $u=x^2+y,v=2x^2-x+y$ (với $v-u=x^2-x$), phương trình viết lại dưới dạng $u\cdot 2020^{-u}+(v-u)2020^v=v\cdot 2020^{-u}⟺(v-u)\left(2020^v-2020^{-u}\right)=0⟺\left[\begin{array}{c}v=u\\ v=-u\end{array}\right]⟺\left[\begin{array}{c}{x}^2-x=0\\ 3x^2-x+2y=0\end{array}\right]$. Phương trình $x^2-x=0$ luôn có $2$ nghiệm $x=0$ và $x=1$. Để tồn tại nhiều hơn $2$ số thực $x$, phương trình $3x^2-x+2y=0$ phải có nghiệm khác $0$ và $1$, tức là $\Delta =1-24y>0⟺y<\frac{1}{24}$ (nếu $y=0$ thì nghiệm là $x=0$ và $x=\frac{1}{3}\ne 0,1$, vẫn cho $3$ nghiệm thực phân biệt). Vậy với $y\in \mathbb{Z}$ và $y\in (-2021;+\infty )$, ta có $y\in \{-2020;-2019;\dots ;-1;0\}$, nhưng tại $y=-1$ phương trình $3x^2-x-2=0$ có nghiệm $x=1$ (trùng) và $x=-\frac{2}{3}$ (vẫn có $3$ nghiệm phân biệt $0,1,-2/3$!). Loại trường hợp chỉ có $\le 2$ nghiệm ta thu được $2020$ giá trị nguyên của $y$.