Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $A(1;3;-2)$, tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$. Mặt cầu $(S)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(1;2;5)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+2z+2=0$. Phương trình mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với $(\alpha )$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;-3;4)$, đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{2}$ và mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=20$. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ thỏa mãn khoảng cách từ điểm $A$ đến $(P)$ lớn nhất. Mặt cầu $(S)$ cắt $(P)$ theo đường tròn có bán kính bằng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+2y-z-3=0$ và điểm $I(1;2;-3)$. Mặt cầu $(S)$ tâm $I$ và tiếp xúc $(P)$ có phương trình:

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):5x+by+cz+d=0$ đi qua hai điểm $A(-1;5;7)$, $B(4;2;3)$ và cắt mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$ theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $T=3b-2c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$, với $a,b,c$ đều là các số thực dương. Biết mặt cầu $(S)$ cắt $3$ mặt phẳng tọa độ $(Oxy),(Oxz),(Oyz)$ theo các giao tuyến là các đường tròn có bán kính cùng bằng $\sqrt{13}$ và mặt cầu $(S)$ đi qua $M(2;0;1)$. Tính $a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=9$ và điểm $A(2;3;-1)$. Xét các điểm $M$ thuộc $(S)$ sao cho đường thẳng $AM$ tiếp xúc với $(S)$, $M$ luôn thuộc mặt phẳng có phương trình: