Tích phân $I={\int }_0^1\frac{1}{x+1}dx$ có giá trị bằng

Cho $a$ là số thực dương, giá trị tích phân ${\int }_0^a(x^2-x)dx$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[-2;3]$ và $f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Biết ${\int }_{-2}^1{f}^{\prime }(x)dx=3$ và diện tích $S=\frac{5}{3}$. Giá trị $f(3)-f(-2)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f^{\prime }(x)+2xf(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $f(0)=\frac{3}{2}$ và ${\int }_0^1(2f(x)-1)xdx=a+\frac{b}{e}$, với $a,b$ là các số hữu tỷ. Khi đó $a+b$ bằng

Cho hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$. Biết rằng hàm số $g(x)=f(x)\cdot e^{-2x}$ có hai giá trị cực trị là $2$ và $-e^6$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2g(x)$ và $h(x)=(2ax+b)\cdot e^{-2x}$ bằng

Tính ${\int }_{-1}^{1}f(x)\text{d}x$ biết rằng ${\int }_{-1}^1\left[f(x)-x\right]\text{d}x=3$.

Cho $f$ là hàm số liên tục trên $[1;2]$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $[1;2]$ thỏa $F(1)=-2$ và $F(2)=-4$. Khi đó ${\int }_1^{2}f(x)dx$ bằng.