Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $1\text{ (m)}$ như hình vẽ bên. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $x\text{ (m)}$ sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của $x$ để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là

Một người dự định sử dụng hết $1,5{\text{ m}}^2$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí $A$ và $B$ cách nhau $4\text{ km}$. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí $C$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, cách trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ một khoảng $4\text{ km}$. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước $C$ đến một vị trí $I$ nằm giữa đoạn thẳng $MC$ sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy $A$ và $B$ (hình vẽ).
Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu $\text{km}$? *(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)*.

Một chiếc tàu chở hàng cần đi ngược dòng trên một quãng sông dài $90\text{ km}$. Vận tốc dòng nước là $3\text{ km/h}$. Gọi $v\text{ (km/h)}$ là vận tốc của tàu so với nước yên lặng ($v>3$). Chi phí vận hành của tàu gồm hai phần:
- Chi phí nhiên liệu: $0,5v^3$ (nghìn đồng/giờ).
- Chi phí cố định (nhân công, thuê tàu): $54$ (nghìn đồng/giờ).
Gọi $C(v)$ (nghìn đồng) là tổng chi phí của cả chuyến đi. Hãy tính tổng chi phí nhỏ nhất của chuyến đi?

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng sau $t$ giờ kể từ khi tiêm, nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được tính theo công thức $c(t)=\frac{3t}{t^2+4}\text{ (mg/L)}$. Sau khi tiêm thuốc bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

Doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) được mô hình hoá bằng hàm số $f(t)=\frac{24000}{1+6e^{-t}}(t\ge 0)$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f^{\prime }(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tốc độ bán hàng lớn nhất đạt được khi $t=\ln a$. Tìm $a$?

Một màn hình $NP$ có chiều cao $1,6$ mét được đặt thẳng đứng và mép dưới của màn hình cách mặt đất một khoảng $NM$ bằng $1,9$ mét. Một chiếc đèn chiếu sáng màn hình đặt ở vị trí $O$ trên mặt đất (xem hình minh họa). Để góc chiếu sáng $NOP$ lớn nhất thì độ dài đoạn $OM$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).