Doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) được mô hình hoá bằng hàm số $f(t)=\frac{24000}{1+6e^{-t}}(t\ge 0)$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f^{\prime }(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tốc độ bán hàng lớn nhất đạt được khi $t=\ln a$. Tìm $a$?

Một màn hình $NP$ có chiều cao $1,6$ mét được đặt thẳng đứng và mép dưới của màn hình cách mặt đất một khoảng $NM$ bằng $1,9$ mét. Một chiếc đèn chiếu sáng màn hình đặt ở vị trí $O$ trên mặt đất (xem hình minh họa). Để góc chiếu sáng $NOP$ lớn nhất thì độ dài đoạn $OM$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một hòn đảo nằm trong một vịnh biển. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$. Đơn vị trên hệ trục là $100\text{m}$. Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$, vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$. Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y=36-9x$. Người ta muốn làm một cây cầu có dạng là một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần chục).

Một doanh nghiệp vận tải muốn đóng các thùng gỗ để chứa hàng hóa trong quá trình vận chuyển. Mỗi thùng được thiết kế theo dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích $1{\text{ m}}^3$. Để đảm bảo phù hợp với thiết bị xếp dỡ, thùng được thiết kế sao cho chiều dài của đáy gấp $1,5$ lần chiều rộng. Biết chi phí vật liệu làm mặt đáy là $240.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí vật liệu làm mặt bên là $180.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ (bỏ qua các chi phí khác như công lắp ráp, vận chuyển, hao hụt vật liệu, ...). Hỏi với số tiền là $200\text{ triệu đoˆˋng}$, doanh nghiệp có thể sản xuất tối đa bao nhiêu thùng gỗ?

Một công ty vận tải cần tối ưu tổng chi phí cho mỗi chuyến xe chạy quãng đường $200\text{ km}$. Biết rằng tổng chi phí gồm có $2$ phần: phần thứ nhất là chi phí vận hành $C_1(x)=\frac{10000}{x+2}$ (nghìn đồng), với $x\in (20;100)$ là tốc độ trung bình ($\text{km/h}$); phần thứ hai là chi phí bảo trì xe theo tốc độ $C_2(x)=\frac{2x^2+60x+1000}{x+2}$ (nghìn đồng) và tổng chi phí $C(x)=C_1(x)+C_2(x)$.

Bác Minh lên kế hoạch làm các hàng rào cho khu đất hình chữ nhật để bảo vệ cho rau trồng của mình. Bác rào $3$ mặt xung quanh và một hàng rào ở giữa chia đôi khu đất, để trống một mặt phía bờ sông (như hình minh họa). Biết rằng, chi phí để làm chiều dài hàng rào là $60$ nghìn đồng/mét, ba hàng rào theo chiều rộng còn lại có chi phí như nhau và bằng $50$ nghìn đồng/mét và tổng chi phí cho việc làm hàng rào là $15$ triệu đồng. Hỏi Bác Minh có thể rào được khu đất có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Một doanh nghiệp tư nhân dự định sản xuất một loại linh kiện điện tử với số lượng không quá $300$ sản phẩm. Nếu doanh nghiệp bán được $x$ sản phẩm thì tổng doanh thu thu về (đơn vị: đồng) được tính theo công thức $f(x)=x^3-1200x^2+150000x+50000$. Chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm (đơn vị: đồng) được tính theo công thức $C(x)=2000+x+\frac{40000}{x}$. Hỏi doanh nghiệp cần bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu về là lớn nhất?