Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;1;2)$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$. Mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo đường tròn $(C)$ có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng $(P)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $2x+y-z-1=0$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=4$. Xác định bán kính $r$ của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ và mặt cầu $(S)$?

Thể tích $V$ của khối cầu có đường kính $6\text{ cm}$ bằng

Diện tích mặt cầu có bán kính bằng $2$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0),B(3;0;0)$, $D(0;3;0),A^{\prime }(0;0;3)$. Mặt cầu $(S)$ có phương trình dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$, tiếp xúc với hai đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$. Khi thể tích của khối cầu $(S)$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của $d$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I(1;-1;2)$. Phương trình của mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với trục $Ox$ là

Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=25$ tâm $I$ và điểm $A(2;2;1)$. Xét các điểm $B,C,D$ thay đổi thuộc $(S)$ sao cho $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc nhau. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(BCD)$ có giá trị lớn nhất bằng $\frac{m}{n}$ (với $m,n$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản). Tích $m\cdot n$ bằng?