Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0),B(3;0;0)$, $D(0;3;0),A^{\prime }(0;0;3)$. Mặt cầu $(S)$ có phương trình dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$, tiếp xúc với hai đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$. Khi thể tích của khối cầu $(S)$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của $d$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I(1;-1;2)$. Phương trình của mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với trục $Ox$ là

Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=25$ tâm $I$ và điểm $A(2;2;1)$. Xét các điểm $B,C,D$ thay đổi thuộc $(S)$ sao cho $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc nhau. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(BCD)$ có giá trị lớn nhất bằng $\frac{m}{n}$ (với $m,n$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản). Tích $m\cdot n$ bằng?

Mặt cầu có bán kính bằng $2a\sqrt{3}$ thì có diện tích bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $A(1;3;-2)$, tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$. Mặt cầu $(S)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(1;2;5)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+2z+2=0$. Phương trình mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với $(\alpha )$ là

Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính $r$ vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc với các đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là $120{\text{ cm}}^3$, thể tích mỗi khối cầu bằng
[IMAGE:img_q34_stem]