Cho hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x-2$. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=|f(x^2+m-5)|$ có ít nhất $7$ điểm cực trị?

Phương trình $f(t)=0$ có $3$ nghiệm đơn $t\in \{2-\sqrt{3},2,2+\sqrt{3}\}$ và $f^{\prime }(t)=0$ có $2$ nghiệm đơn $t\in \{1,3\}$. Để $y=|f(x^2+m-5)|$ có ít nhất $7$ điểm cực trị thì ít nhất $3$ trong $5$ phương trình $x^2+m-5=t_i$ phải có $2$ nghiệm phân biệt $\iff m-5<2\iff m<7$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1,2,3,4,5,6\}$, có $6$ giá trị.