Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ $(a\ne 0)$, hàm số $y=f^{\prime }(1+2x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g(x)=f(|x^3+5x|+m)$ có ít nhất $5$ điểm cực trị?

Từ đồ thị $f^{\prime }(1+2x)=0\iff x\in \{-4;1;5\}$, suy ra $f^{\prime }(t)=0\iff t\in \{-7;3;11\}$. Vì $g(x)=f(|x^3+5x|+m)=f(|x|(x^2+5)+m)$ là hàm số chẵn trên $\mathbb{R}$, nên để $g(x)$ có ít nhất $5$ điểm cực trị thì hàm số $h(x)=f(x^3+5x+m)$ phải có ít nhất $2$ điểm cực trị dương. Ta có $h^{\prime }(x)=(3x^2+5)f^{\prime }(x^3+5x+m)=0\iff x^3+5x+m\in \{-7;3;11\}$. Do $u(x)=x^3+5x$ đồng biến từ $0$ đến $+\infty$ trên $(0;+\infty )$, để hệ phương trình có ít nhất $2$ nghiệm dương thì $m<3$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2\}$, có $2$ giá trị. Chọn B.