Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2-2(m+1)z+m^2+4m+3=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn $(z_1-z_2{)}^2+2m=z_1+\overline{z_2}$?

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(m^2+4m+3)=-2m-2$. TH1: ${\Delta }^{\prime }>0\iff m<-1$, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2$. Khi đó $(z_1-z_2{)}^2+2m=z_1+z_2\iff 4{\Delta }^{\prime }+2m=2(m+1)\iff -8m-8+2m=2m+2\iff m=-\frac{5}{4}$ (thỏa mãn $m<-1$). TH2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m>-1$, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1=x+yi,z_2=x-yi$ $(y\ne 0)$, khi đó $z_1+\overline{z_2}=2z_1$ là số phức không thực (vì $y\ne 0$), còn vế trái $(z_1-z_2{)}^2+2m=-4y^2+2m$ là số thực, suy ra $y=0$ (loại vì hai nghiệm trùng nhau). Vậy có đúng $1$ giá trị của $m$. Chọn C.