Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_2\frac{2xy+3x+3y+4}{x^2+xy+y^2}=x(2x-3)+y(2y-3)-3$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $F=x+y-1$.

Phương trình tương đương ${\log }_2(2xy+3x+3y+4)+(2xy+3x+3y+4)={\log }_2(2x^2+2xy+2y^2)+(2x^2+2xy+2y^2)$. Xét hàm đặc trưng $f(t)={\log }_{2}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $2xy+3x+3y+4=2x^2+2xy+2y^2\iff (x+y{)}^2-2xy-\frac{3}{2}(x+y)-2=0$. Đặt $F=x+y-1\Rightarrow x+y=F+1$, thế $y=F+1-x$ vào được $2x^2-2(F+1)x+(F+1{)}^2-\frac{3}{2}(F+1)-2=0$. Phương trình có nghiệm $x$ khi ${\Delta }^{\prime }=-F^2+F+6\ge 0\iff -2\le F\le 3$. Dấu bằng xảy ra tại $x=y=2$ thì $F=3$. Chọn B.