Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=2\sqrt{3}a$, $AD=\sqrt{3}a$, $SAD$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.

Gọi $M$ là trung điểm $AD\Rightarrow SM\perp (ABCD)$, $O$ là tâm hình chữ nhật $ABCD$, $G$ là trọng tâm tam giác đều $SAD$. Tâm mặt cầu ngoại tiếp $I$ của hình chóp $S.ABCD$ thỏa mãn $IO=GM=\frac{1}{3}SM=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}a=\frac{a}{2}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $OD=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\frac{\sqrt{15}a}{2}$. Suy ra bán kính mặt cầu $R=\sqrt{I{O}^2+O{D}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{15a^2}{4}}=2a$. Vậy thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{32\pi a^3}{3}$. Chọn A.