Tìm tham số $m$ để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất: $1+[2x^2-m(m+1)x-2]\cdot 2^{1+mx-x^2}=(x^2-mx-1)\cdot 2^{mx(1-m)}+x^2-m^{2}x$.

Đặt $u=2x^2-m(m+1)x-1$ và $v=x^2-mx-1$. Phương trình viết lại thành $(u-1)2^{-v}+1=v\cdot 2^{u-v}+u-v\iff (u-1)2^{-u}-u=(v-1)2^{-v}-v$. Xét hàm đặc trưng suy ra $u=v\iff x^2-m^{2}x=0$ (có nghiệm $x=0,x=m^2$) hoặc nhánh còn lại cho tổng các nghiệm theo $m$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $m=-\frac{1}{2}$.