Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để phương trình $(m+20{)}^x\cdot m^{x^2-3}=1$ có nghiệm lớn hơn $1$?

Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ nhỏ hơn $500$ sao cho ứng với mỗi $y$ tồn tại ít nhất $9$ số nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình $x^4+2x^2-y+1\le {\log }_2\frac{\sqrt{2y+1}}{x^2+1}$?

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình ${\log }_2^{2}x-(m+1){\log }_{2}x+2m-3=0$ có đúng $2$ nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(2;16)$?

Cho phương trình ${\log }_9(x+1{)}^2+{\log }_{\frac{1}{3}}\frac{x}{m}=1$ (với $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm thực?

Cho phương trình $2^m\cdot 2^{{\sin }^{2}x}+m-{\cos }^{2}x=8\cdot 4^{\cos x}+2(\cos x+1)$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm thực là

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y , tồn tại duy nhất một giá trị 3 9 x ∈  ;  thỏa mãn log 3 ( x 3 − 6 x 2 + 9 x + y= ) log 2 ( − x 2 + 6 x − 5 ) . Số phần tử của S là 2 2

Có bao nhiêu số tự nhiên $m$ sao cho phương trình $|4^x-2^{x+2}+m-1|=2^{x+1}+2$ có đúng $2$ nghiệm thực phân biệt?