Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+2y-z-3=0$ và điểm $M(1;-2;4)$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên mặt phẳng $(P)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):(2m+1)x-(5m-1)y-(m+1)z-5=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{1}$. Tìm $m$ để $\Delta$ song song với $(P)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-z-4=0$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x-3}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-1}$. Hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $(P)$ là đường thẳng có phương trình

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=t\\ z=3+t\end{array}$ cắt mặt phẳng $(Oxy)$ tại điểm $M$ có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mắt một người quan sát đặt tại điểm $M(1;2;3)$ và quan sát một thanh $AB$ với $A(7;8;-3)$, $B(2;3;-3)$. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ có tâm $O(0;0;0)$, bán kính $R$ và che khuất hoàn toàn thanh $AB$ đối với người quan sát tại điểm $M$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+2y-z-5=0$. Tọa độ giao điểm của $d$ với $(P)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-1-2t\\ y=t\\ z=-1+3t\end{array}$; $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=2+t^{\prime }\\ y=-1+2t^{\prime }\\ z=-2t^{\prime }\end{array}$ và mặt phẳng $(P):x+y+z+2=0$. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và cắt hai đường thẳng $d$, $d^{\prime }$ có phương trình là