Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=t\\ z=3+t\end{array}$ cắt mặt phẳng $(Oxy)$ tại điểm $M$ có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mắt một người quan sát đặt tại điểm $M(1;2;3)$ và quan sát một thanh $AB$ với $A(7;8;-3)$, $B(2;3;-3)$. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ có tâm $O(0;0;0)$, bán kính $R$ và che khuất hoàn toàn thanh $AB$ đối với người quan sát tại điểm $M$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+2y-z-5=0$. Tọa độ giao điểm của $d$ với $(P)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-1-2t\\ y=t\\ z=-1+3t\end{array}$; $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=2+t^{\prime }\\ y=-1+2t^{\prime }\\ z=-2t^{\prime }\end{array}$ và mặt phẳng $(P):x+y+z+2=0$. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và cắt hai đường thẳng $d$, $d^{\prime }$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-1-2t\\ y=t\\ z=1+t\end{array}$ và điểm $A(1;2;3)$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ sao cho $d(A,(P))$ lớn nhất. Khi đó tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:

Nhân dịp kỷ niệm $50$ năm ngày Giải phóng miền Nam thống nhất đất nước ($30/04/1975-30/04/2025$), một nhóm học sinh thiết kế mô hình đài tưởng niệm các anh hùng liệt sĩ, phần mái của mô hình có dạng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$.
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (các trục tọa độ có cùng đơn vị độ dài), hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tâm $O$ của hình vuông $ABCD$ trùng với gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và các điểm $A(1;1;0),B(-1;1;0),C(-1;-1;0),S(0;0;2)$ (xem hình minh họa).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):x+y-2z+2=0$ và hai điểm $A(2;0;1),B(1;1;2)$. Gọi $d$ là đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ và cắt đường thẳng $AB$, thỏa mãn góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $d$ bằng góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(\alpha )$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$ bằng