Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-1-2t\\ y=t\\ z=-1+3t\end{array}$; $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=2+t^{\prime }\\ y=-1+2t^{\prime }\\ z=-2t^{\prime }\end{array}$ và mặt phẳng $(P):x+y+z+2=0$. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và cắt hai đường thẳng $d$, $d^{\prime }$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-1-2t\\ y=t\\ z=1+t\end{array}$ và điểm $A(1;2;3)$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ sao cho $d(A,(P))$ lớn nhất. Khi đó tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:

Nhân dịp kỷ niệm $50$ năm ngày Giải phóng miền Nam thống nhất đất nước ($30/04/1975-30/04/2025$), một nhóm học sinh thiết kế mô hình đài tưởng niệm các anh hùng liệt sĩ, phần mái của mô hình có dạng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$.
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (các trục tọa độ có cùng đơn vị độ dài), hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tâm $O$ của hình vuông $ABCD$ trùng với gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và các điểm $A(1;1;0),B(-1;1;0),C(-1;-1;0),S(0;0;2)$ (xem hình minh họa).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):x+y-2z+2=0$ và hai điểm $A(2;0;1),B(1;1;2)$. Gọi $d$ là đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ và cắt đường thẳng $AB$, thỏa mãn góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $d$ bằng góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(\alpha )$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{-1}$ và $d_2:\frac{x+4}{-1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-1}{1}$. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d_1$ và song song với đường thẳng $d_2$ không đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $(P):x+y-3z-2=0$. Gọi $d^{\prime }$ là đường thẳng nằm trong $(P)$, cắt và vuông góc với $d$. Đường thẳng $d^{\prime }$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2y-3z-3=0$ và hai đường thẳng $d_1:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{1}$; $d_2:\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=1+t\\ z=1\end{array}$. Đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ đồng thời cắt cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có phương trình là