Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $(P):x+y-3z-2=0$. Gọi $d^{\prime }$ là đường thẳng nằm trong $(P)$, cắt và vuông góc với $d$. Đường thẳng $d^{\prime }$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3-t\\ z=2+t\end{array}$ có một vectơ chỉ phương là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2y-3z-3=0$ và hai đường thẳng $d_1:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{1}$; $d_2:\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=1+t\\ z=1\end{array}$. Đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ đồng thời cắt cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$ và mặt phẳng $(P):x-y-z-1=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm $A(1;1;-2)$, $\Delta \parallel (P)$ và $\Delta$ cắt $d$. Giao điểm của $\Delta$ và mặt phẳng $(Oxy)$ là $M(x_0;y_0;z_0)$, khi đó $x_0+y_0+z_0$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;0;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a}=(4;-6;2)$. Phương trình tham số của $\Delta$ là:

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(1;3;-2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):x+3y-4z+9=0$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $(P):x+y-z-4=0$. Gọi $d^{\prime }$ là đường thẳng nằm trong $(P)$ sao cho $d^{\prime }$ cắt và vuông góc với $d$. Biết rằng, đường thẳng $d^{\prime }$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=1+at\\ y=1+bt\\ z=-2+ct\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản). Tính giá trị của biểu thức $T=a+10b-c$.