Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $AB=2a$, $AD=a$, $SA=3a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BM$ bằng

Người ta thiết kế một dây cáp chạy thẳng từ điểm $X$ ở trên mặt đất tới đỉnh $T$ của một tòa tháp. Giả sử tọa độ của các điểm là $T(40;60;150)$ và $X(100;-40;0)$ trong hệ tọa độ không gian $Oxyz$, với $O$ là gốc tọa độ đặt tại mặt đất. Người ta muốn nối điểm $A(40;30;-20)$ nằm dưới một cái hồ tới một điểm $M(a;b;c)$ nằm trên dây cáp sao cho khoảng cách $MA$ này là nhỏ nhất. Tính $a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=3\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2+7t\\ z=3+t\end{array}$. Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa $d_1$ và $d_2$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{1}=\frac{y-m}{-1}=\frac{z-3}{2},d_2:\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{2m+3}$, ở đó $m\ne -\frac{3}{2}$ là tham số. Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $d_1$ vuông góc với đường thẳng $d_2$?

Cho tứ diện $OABC$ có $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc với nhau, và $OA=OB=a$, $OC=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $OM$ và $AC$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có các kích thước $AB=4,AD=3,A{A}^{\prime }=5$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }C$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;0;2)$ và đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}{1}$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ cắt và vuông góc với $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}(a;b;4)$. Giá trị biểu thức $S=a+b$ bằng