Cho $f(x)$ mà đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình bên. Bất phương trình $f(x)>\sin \frac{\pi x}{2}+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in [-1;3]$ khi và chỉ khi
[IMAGE:img_q42_stem]

Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ trên đoạn $[-1;3]$, ta có $f^{\prime }(x)\le 0$ trên $[-1;1]$ và $f^{\prime }(x)\ge 0$ trên $[1;3]$, nên $f(x)\ge f(1),\forall x\in [-1;3]$. Đồng thời $-\sin \frac{\pi x}{2}\ge -1,\forall x\in [-1;3]$, với dấu bằng của cả hai bất đẳng thức cùng xảy ra tại $x=1$. Suy ra ${\min }_{[-1;3]}\left(f(x)-\sin \frac{\pi x}{2}\right)=f(1)-1$. Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in [-1;3]\iff m<f(1)-1$. Chọn đáp án A.