Biết ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{{\cos }^{2}x+\sin x\cos x+1}{{\cos }^{4}x+\sin x{\cos }^{3}x}dx=a+b\ln 2+c\ln (1+\sqrt{3})$, với $a,b,c$ là các số hữu tỉ. Giá trị của $abc$ bằng

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Biết $F(1)=-3,F(-2)=12$. Tính $I={\int }_{-2}^{1}f(x)\mathrm{d}x$.

Giả sử ${\int }_0^{9}f(x)dx=37$ và ${\int }_0^{9}g(x)dx=16$. Khi đó $I={\int }_0^9\left[2f(x)+3g(x)\right]dx$ bằng:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và $F(2)=12$, $F(4)=6$. Tích phân ${\int }_2^{4}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^{6}f(x)\text{d}x=12$. Tính ${\int }_0^{2}f(3x)\text{d}x$.

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, $(a,b,c,d\in \mathbb{R},a\ne 0)$. Biết đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)$ tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ. Tính diện tích $S$ của hình phẳng tạo bởi đồ thị $(C)$ và trục hoành.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần $A,B$ lần lượt bằng $\frac{16}{3}$ và $\frac{5}{6}$. Giá trị của $I={\int }_{-1}^{0}f(3x+1)\text{d}x$ bằng