Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có các kích thước $AB=4,AD=3,A{A}^{\prime }=5$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }C$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;0;2)$ và đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}{1}$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ cắt và vuông góc với $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}(a;b;4)$. Giá trị biểu thức $S=a+b$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0;3;-2)$. Xét đường thẳng $d$ thay đổi, song song với trục $Oz$ và cách trục $Oz$ một khoảng bằng $2$. Khi khoảng cách từ $A$ đến $d$ lớn nhất, $d$ đi qua điểm nào dưới đây?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$, gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính khoảng cách giữa $MN$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=3\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2+7t^{\prime }\\ z=3+t^{\prime }\end{array}$. Phương trình đường phân giác của góc tù giữa $d_1$ và $d_2$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;3;-2)$ và đường thẳng $(d):\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-2}$. Biết $N(a;b;c)$ thuộc $(d)$ và độ dài $MN$ ngắn nhất. Tính $a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+y+z-5=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{1}$. Biết rằng trong mặt phẳng $(P)$ có hai đường thẳng $d_1,d_2$ cùng đi qua điểm $A(3;-1;0)$ và cùng cách đường thẳng $d$ một khoảng bằng $3$. Tính $\sin \phi$ với $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng $d_1,d_2$?