Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$, gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính khoảng cách giữa $MN$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;3;-2)$ và đường thẳng $(d):\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-2}$. Biết $N(a;b;c)$ thuộc $(d)$ và độ dài $MN$ ngắn nhất. Tính $a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+y+z-5=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{1}$. Biết rằng trong mặt phẳng $(P)$ có hai đường thẳng $d_1,d_2$ cùng đi qua điểm $A(3;-1;0)$ và cùng cách đường thẳng $d$ một khoảng bằng $3$. Tính $\sin \phi$ với $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng $d_1,d_2$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét đường thẳng $(\Delta )$ đi qua điểm $M(3;1;1)$, nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z-3=0$. Khi $(\Delta )$ tạo với đường thẳng $(d):\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4+3t\\ z=-3-2t\end{array}$ một góc nhỏ nhất thì đường thẳng $(\Delta )$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{\Delta }=(5;b;c)$. Giá trị của $b+c$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp cụt tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=4,A^{\prime }{B}^{\prime }=2$ và chiều cao $h=2$. Cô-sin của góc tạo bởi hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tọa độ ứng với $10\text{ m}$ độ dài, mặt phẳng $(Oxy)$ được coi là mặt nước biển (trong một phạm vi đủ nhỏ), đường đi của một tàu ngầm KILO 636 nằm trên đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\\ z=-20\end{array}$. Khi tàu đậu ở vị trí điểm $A(-34;-68;-20)$ hệ thống định vị của tàu phát hiện phía trước có một khu vực nguy hiểm với trung tâm là điểm $C(6;12;-30)$ phạm vi ảnh hưởng tương đương một khối cầu tâm $C$, bán kính $R=12$ (giả thiết từ bề mặt của khối cầu trở ra phía ngoài khối cầu đó là vùng an toàn). Để tránh nguy hiểm mà không thay đổi độ sâu so với mặt nước biển và không muốn phải quay đầu, chỉ huy quyết định ngay tại vị trí $A$, tàu đổi hướng di chuyển mới theo đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ tạo với đường thẳng $\Delta$ một góc $\alpha$. Tính giá trị nhỏ nhất của góc $\alpha$ để tàu được an toàn (kết quả tính bằng độ, làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0;4;-3)$. Xét đường thẳng $d$ thay đổi, song song với trục $Oz$ và cách trục $Oz$ một khoảng bằng $3$. Khi khoảng cách từ $A$ đến $d$ lớn nhất, $d$ đi qua điểm nào dưới đây?