Tính thể tích của một hình hộp chữ nhật biết rằng ba mặt của hình này có diện tích là $20{\text{ cm}}^2,10{\text{ cm}}^2,8{\text{ cm}}^2$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{3}$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Tính góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $SD$ bằng

Gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-2z+5=0$, trong đó $z_1$ có phần ảo dương. Tìm số phức $w=z_1^2+2z_2^2$.

Cho số phức $z$ có số phức liên hợp $\bar{z}=3-2i$. Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ bằng

Tính $I=\int \cos (4x+3)\text{d}x$.

Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng $R$, chiều cao bằng $h$, độ dài đường sinh bằng $l$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Gọi $A,B,C$ lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức $z_1=2$, $z_2=4i$, $z_3=2+4i$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a$ và thể tích bằng $3a^3$. Tính chiều cao $h$ của hình chóp đã cho.

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

[IMAGE:img_q14_stem]

Cho các số thực $a<b<0$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Hình bát diện đều có bao nhiêu mặt?

Cho số phức $z$ thỏa mãn: $z(1-2i)+\bar{z}\cdot i=15+i$. Tìm môđun của số phức $z$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha ):2x-5y-z+1=0$ có $1$ vectơ pháp tuyến là

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$, có bảng biến thiên như hình sau:

[IMAGE:img_q19_stem]

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị nào dưới đây?

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

[IMAGE:img_q21_stem]

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\overrightarrow{OA}=-3\vec{i}-17\vec{j}+2\vec{k}$. Tọa độ của điểm $A$ là

Cho $a>0$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Khi đó hiệu số $F(0)-F(1)$ bằng

Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=x^3-5x^2+7x-3$ là:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{4}{x-1}$ tại điểm có hoành độ $x=-1$.

Cho cấp số cộng $(u_n)$, biết $u_2=3$ và $u_4=7$. Giá trị của $u_{15}$ bằng

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $A(1;-2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;-2)$ có phương trình là

Hàm số $y=2^{2x^2+x}$ có đạo hàm là

Cho hình thang vuông $ABCD$ có độ dài hai đáy $AB=2a,DC=4a$, đường cao $AD=2a$. Quay hình thang $ABCD$ quanh đường thẳng $AB$ thu được khối tròn xoay $(H)$. Tính thể tích $V$ của khối $(H)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau.

[IMAGE:img_q31_stem]

Số nghiệm thực của phương trình $|f(x)|=2$ là

Xét các số phức $z$ thỏa điều kiện $|z-3+2i|=5$. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=z+1-i$ là?

Biết ${\int }_1^2\frac{x}{3x+\sqrt{9x^2-1}}\text{d}x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{35}$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ, tính $P=a+2b+c-7$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{-2}$. Gọi $\vec{u}=(2;a;b)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A$, vuông góc với đường thẳng $d$ và cắt trục $Ox$. Tính $a+b$.

Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình $2{\log }_4(x-3)+{\log }_4(x-5{)}^2=0$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z+9=0$, gọi $H(a;b;c)$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên mặt phẳng $(P)$. Tổng $a+b+c$ bằng

Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2$ và đường tròn $x^2+y^2=2$ (phần tô đậm trong hình bên). Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành.

[IMAGE:img_q37_stem]

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$, gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính khoảng cách giữa $MN$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;1]$ và thỏa mãn $f(0)=6$, ${\int }_0^1(2x-2)\cdot f^{\prime }(x)\text{d}x=6$. Tích phân ${\int }_0^{1}f(x)\text{d}x$.

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng $V$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm trên cạnh $B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ sao cho $\frac{M{B}^{\prime }}{MB}=\frac{N{C}^{\prime }}{NC}=2$. Thể tích của khối $ABCMN$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thỏa mãn: $x^2{f}^2(x)+(2x-1)f(x)=x\cdot f^{\prime }(x)-1$ và $f(1)=-2$. Tính ${\int }_1^{4}f(x)\text{d}x$.

Cho hàm số $f(x)=x^3-(2m+1)x^2+3mx-m$ có đồ thị $(C_m)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $(-2018;2018]$ để đồ thị $(C_m)$ có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành.

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z^2+iz+2|=|z^2+z-i+1|$. Giá trị nhỏ nhất của $|z-2+i|$ là

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có $4$ chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng $\overline{abcd}$, trong đó $1\le a\le b\le c\le d\le 9$.

Xét các số thực dương $a,b$ thỏa mãn ${\log }_2\left(\frac{1-ab}{a+b}\right)=2ab+a+b-3$. Tìm giá trị nhỏ nhất $P_{\min }$ của $P=a+2b$.

Cho hàm số $f(x)=\ln \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)+e^x-e^{-x}$. Hỏi phương trình $f(3^x)+f(2x-1)=0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):2x-y-2z-2=0$ và mặt phẳng $(Q):2x-y-2z+10=0$ song song với nhau. Biết $A(1;2;1)$ là điểm nằm giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu qua $A$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Biết rằng khi $(S)$ thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó.

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y=f(x)$.

[IMAGE:img_q48_stem]

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=|f(x-2019)+m|$ có $5$ điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của $S$ bằng

Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng $9$. Tính thể tích $V$ của khối chóp có thể tích lớn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=3\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2+7t^{\prime }\\ z=3+t^{\prime }\end{array}$. Phương trình đường phân giác của góc tù giữa $d_1$ và $d_2$ là: