Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):2x-y-2z-2=0$ và mặt phẳng $(Q):2x-y-2z+10=0$ song song với nhau. Biết $A(1;2;1)$ là điểm nằm giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu qua $A$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Biết rằng khi $(S)$ thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+2y-z+3=0$. Mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;0;-1)$ và cắt mặt phẳng $(P)$ theo một đường tròn giao tuyến có bán kính bằng $\sqrt{5}$. Phương trình của mặt cầu $(S)$ là

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=4$, $(S^{\prime }):(x-8{)}^2+(y-8{)}^2+z^2=64$ và điểm $D(0;0;-8)$. $DM$ là tiếp tuyến thay đổi của mặt cầu $(S^{\prime })$ ($M$ là tiếp điểm). $A,B,C$ là các điểm phân biệt thay đổi trên mặt cầu $(S)$ sao cho $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{CO}=0$. Khi phương trình mặt phẳng $(ABC)$ có dạng $ax+2y+cz+d=0$ thì khoảng cách từ $N(0;0;1)$ đến $(ABC)$ đạt giá trị lớn nhất. Tổng $a+2c+d$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$ và điểm $A(0;1;-2)$. Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến đến $(S)$ với các tiếp điểm thuộc đường tròn $(C_1)$. Từ điểm $M$ di động nằm ngoài $(S)$ và nằm trong mặt phẳng chứa đường tròn $(C_1)$ kẻ các tiếp tuyến đến $(S)$ với các tiếp điểm thuộc đường tròn $(C_2)$. Biết rằng nếu $(C_1)$ và $(C_2)$ có cùng bán kính thì $M$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính $r$ của đường tròn đó bằng

Cho mặt cầu $(S)$ có tâm $O$, bán kính $R=2a$ và điểm $M$ thỏa mãn $OM=a\sqrt{3}$. Ba mặt phẳng thay đổi qua điểm $M$ và đôi một vuông góc với nhau cắt mặt cầu theo giao tuyến lần lượt là các đường tròn với bán kính $r_1,r_2,r_3$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $r_1+r_2+r_3$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S_1)$ và $(S_2)$ có tâm lần lượt là $I(-4;-5;0)$ và $J(6;8;3)$. Mặt cầu $(S_2)$ cắt mặt phẳng $(Oxy)$ theo thiết diện là một đường tròn có bán kính $r_2=4$. Mặt cầu $(S_1)$ có bán kính $R_1=4$. Một điểm $M$ có tọa độ cố định $M(1;0;10)$. Một điểm $C$ di chuyển từ $M$ đến một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu $(S_1)$ hoặc $(S_2)$. Năng lượng tiêu hao khi di chuyển của điểm $C$ được xác định bởi hàm số $E(s)=\frac{1}{12}{s}^2$ (đơn vị năng lượng), trong đó $s$ là độ dài quãng đường di chuyển. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I(0;2;1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x-2y-z-4=0$. Gọi $(S)$ là tập hợp các điểm $M$ trong không gian mà $IM\le 5$. Biết rằng mặt phẳng $(P)$ cắt $(S)$ theo thiết diện là hình tròn $(C)$. Tính thể tích khối nón có đỉnh là $I$ và đáy là $(C)$.