Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$ và điểm $A(0;1;-2)$. Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến đến $(S)$ với các tiếp điểm thuộc đường tròn $(C_1)$. Từ điểm $M$ di động nằm ngoài $(S)$ và nằm trong mặt phẳng chứa đường tròn $(C_1)$ kẻ các tiếp tuyến đến $(S)$ với các tiếp điểm thuộc đường tròn $(C_2)$. Biết rằng nếu $(C_1)$ và $(C_2)$ có cùng bán kính thì $M$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính $r$ của đường tròn đó bằng

Cho mặt cầu $(S)$ có tâm $O$, bán kính $R=2a$ và điểm $M$ thỏa mãn $OM=a\sqrt{3}$. Ba mặt phẳng thay đổi qua điểm $M$ và đôi một vuông góc với nhau cắt mặt cầu theo giao tuyến lần lượt là các đường tròn với bán kính $r_1,r_2,r_3$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $r_1+r_2+r_3$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S_1)$ và $(S_2)$ có tâm lần lượt là $I(-4;-5;0)$ và $J(6;8;3)$. Mặt cầu $(S_2)$ cắt mặt phẳng $(Oxy)$ theo thiết diện là một đường tròn có bán kính $r_2=4$. Mặt cầu $(S_1)$ có bán kính $R_1=4$. Một điểm $M$ có tọa độ cố định $M(1;0;10)$. Một điểm $C$ di chuyển từ $M$ đến một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu $(S_1)$ hoặc $(S_2)$. Năng lượng tiêu hao khi di chuyển của điểm $C$ được xác định bởi hàm số $E(s)=\frac{1}{12}{s}^2$ (đơn vị năng lượng), trong đó $s$ là độ dài quãng đường di chuyển. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I(0;2;1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x-2y-z-4=0$. Gọi $(S)$ là tập hợp các điểm $M$ trong không gian mà $IM\le 5$. Biết rằng mặt phẳng $(P)$ cắt $(S)$ theo thiết diện là hình tròn $(C)$. Tính thể tích khối nón có đỉnh là $I$ và đáy là $(C)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x-4y-2z+4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{4}$. Hai mặt phẳng $(P),(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ lần lượt tại $M,N$. Gọi $H(a;b;c)$ là trung điểm của $MN$. Khi đó tích $abc$ bằng

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z = 0 , xác định phương trình mặt cầu tâm I (1; 2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ).

Trong hệ trục Oxyz cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 + z 2 = 6 và điểm M (3;5; 4). Mặt phẳng ( P ) thay đổi luôn cắt mặt cầu ( S ) có đường tròn giao tuyến với bán kính r = 2 . Khi khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) lớn nhất thì phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng x + by + cz + d =0. Tính giá trị của b + c + d .