Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0;2]$ và thỏa mãn $2f(2)={\int }_0^{2}x\left(f^{\prime }(x)-1\right)dx$. Tích phân $I={\int }_0^{2}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và $F(3)=5$, $F(1)=1$. Tích phân ${\int }_1^{3}f(x)dx$ bằng:

Khuôn viên nhà bạn Thùy Dương có dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn và cách nhau một khoảng bằng $4\text{ m}$. Phần còn lại của khuôn viên dành để trồng cỏ Nhung Nhật. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí trồng hoa và cỏ Nhung Nhật tương ứng là $250.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ và $150.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Hỏi chi phí để trồng hoa và trồng cỏ Nhung Nhật trong khuôn viên đó hết bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Nếu ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=3$ thì ${\int }_2^{0}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Nếu ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=3$ thì ${\int }_0^2\left(\frac{6-5f(x)}{3}\right)\mathrm{d}x$ bằng

Nếu ${\int }_{-1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=3$ và ${\int }_{-1}^{2}g(x)\mathrm{d}x=4$ thì $I={\int }_{-1}^2\left(\frac{2f(x)+3g(x)}{-9}\right)\mathrm{d}x$ bằng

Đồ thị hàm số $y=f(x)=x^4-b{x}^2+c$ ($b>0$) có ba điểm cực trị là $A,B,C(0,4)$. Gọi $y=g(x)$ là hàm số có đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu. Khi diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của hai hàm $f(x)$ và $g(x)$ bằng $\frac{16}{15}$ thì ${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x$ bằng