Cho các số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1-2-4i|=1$; $|z_2+2|=|z_2+2i|$, biết rằng $\frac{z_1-z_2}{1+2i}$ là số thực. Gọi $M,m$ là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $|z_1-z_2|$. Khi đó $M+m$ thuộc khoảng nào sau đây?

Đáp án: B. Theo hướng dẫn giải chính thức (trang 11, nhãn 'Câu 45'): Điểm $A$ biểu diễn $z_1$ thuộc đường tròn tâm $I(2;4)$, bán kính $R=1$; điểm $B$ biểu diễn $z_2$ thuộc đường thẳng $d:x-y=0$. Do $\frac{z_1-z_2}{1+2i}\in \mathbb{R}$ nên đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;2)$, tạo với pháp tuyến của $d$ góc $\phi$ có $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{10}}$, suy ra $AB=AH\sqrt{10}$. Do đó $M+m=\sqrt{10}\left[(d(I,d)+R)+(d(I,d)-R)\right]=4\sqrt{5}\approx 8,94\in (8;9)$.