Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn ${\log }_5\left(x^2+(y+1{)}^2\right)+{\log }_3\left(x^2+y^2\right)\le {\log }_3\left(x^2-56+(y+8{)}^2\right)+{\log }_5(2y+1)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x+y$.

Đáp án: B. Theo hướng dẫn giải chính thức (trang 11-12, nhãn 'Câu 46'): Điều kiện $2y+1>0$. Bất phương trình tương đương ${\log }_5\left(\frac{x^2+y^2}{2y+1}+1\right)\le {\log }_3\left(1+\frac{8(2y+1)}{x^2+y^2}\right)$. Đặt $t=\frac{x^2+y^2}{2y+1}>0$, xét $f(t)={\log }_5(t+1)-{\log }_3\left(1+\frac{8}{t}\right)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ và $f(4)=0$, suy ra $t\le 4\iff x^2+(y-4{)}^2\le 20$. Từ đó $P=x+y\le 4+\sqrt{2\cdot 20}=4+2\sqrt{10}$.