Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên $m$ ($m$ là tham số) để bất phương trình $(m-1)\ln x+\ln (m^2-5m+7)>0$ có tập nghiệm là $(1,+\infty )$. Tính tổng các giá trị của các phần tử thuộc tập $S$.

Cho phương trình $2+{\log }_3(x^2+1)\ge {\log }_3(m{x}^2-2x+m)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$?

Cho bất phương trình $2^{2{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}+3^{2{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}\le (2m-1)\cdot (\sqrt{5}{)}^{1+\cos 2x}$ với $m$ là tham số. Biết $\left[\frac{a}{b};+\infty \right)$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình đã cho có nghiệm (với $a,b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản). Tính tổng $S=a+5b$.

Có bao nhiêu số nguyên $y\in [-2022;2022]$ để bất phương trình $(5x{)}^{y+\frac{11}{{\log }_{5}x}}\ge 5^{10+{\log }_{5}x}$ có nghiệm đúng với mọi số thực $x\in (1;25)$?

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình $\left(3^{x+2}-\sqrt{3}\right)(3^x-2m)<0$ chứa không quá $9$ số nguyên?

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất? ${\log }_{\frac{1}{m}}\left(\sqrt{x^2+mx+5}+1\right)\cdot {\log }_5\left(x^2+mx+6\right)+{\log }_{m}3\ge 0$.

Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi số $y$ có tối đa $15$ số nguyên $x$ thỏa mãn $4^{-x}-3x+{\log }_4(y-x)\le 2y-2$?