Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi số $y$ có tối đa $15$ số nguyên $x$ thỏa mãn $4^{-x}-3x+{\log }_4(y-x)\le 2y-2$?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −2023; 2023] để bất phương trình (5 + 21) + ( 6 − m ) (5 − 21) − ( m + 2) 2 ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈  ? x x x

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $a>1,b>0,c>0$ và bất phương trình $a^{x^2}\cdot (b+4c{)}^{2x+3}\ge 1$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$. Biết rằng biểu thức $P=\frac{16a}{3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $a=m,b=n,c=p$. Khi đó, tổng $m+n+p$ bằng

Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình ${\log }_5(2^x+1).{\log }_5(5.2^x+5)\ge m$ nghiệm đúng với mọi $x\ge 2$ là

Gọi $S$ là tập các số nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình $({\log }_{2}x+1)({\log }_{2}x-m+1)<0$ ($m$ là tham số). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ sao cho ứng với mỗi giá trị của $m$ thì số phần tử của tập $S$ không vượt quá $2021$.

Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho ứng với mỗi $a$ có đúng ba số nguyên $b$ thỏa mãn $(2^b-2)(a\cdot 3^b-20)<0$?

Xét tất cả các số thực $x,y$ sao cho $a^{4x-{\log }_{\sqrt{3}}a}\le 9^{68-y^2}$ với mọi số thực dương $a$. Khi biểu thức $P=2x^2+2y^2+x-4y$ đạt giá trị lớn nhất thì $2x+y$ bằng