Xét tất cả các số thực $x,y$ sao cho $a^{4x-{\log }_{\sqrt{3}}a}\le 9^{68-y^2}$ với mọi số thực dương $a$. Khi biểu thức $P=2x^2+2y^2+x-4y$ đạt giá trị lớn nhất thì $2x+y$ bằng

Lấy lôgarit cơ số $3$ hai vế của bất đẳng thức $a^{4x-{\log }_{\sqrt{3}}a}\le 9^{68-y^2}$ ta có:
$(4x-2{\log }_{3}a){\log }_{3}a\le 2(68-y^2)\iff {\log }_3^{2}a-2x{\log }_{3}a+68-y^2\ge 0,\forall a>0$ (*).
Coi (*) là bất phương trình bậc hai ẩn $t={\log }_{3}a\in \mathbb{R}$. Để (*) đúng với mọi $t\in \mathbb{R}$ thì:
${\Delta }^{\prime }\le 0\iff x^2-(68-y^2)\le 0\iff x^2+y^2\le 68$.
Ta có $(x-4y{)}^2\le (1^2+(-4{)}^2)(x^2+y^2)\le 17\cdot 68=34^2\Rightarrow x-4y\le 34$.
Suy ra $P=2(x^2+y^2)+x-4y\le 2\cdot 68+34=170$.
Dấu bằng xảy ra khi $\{\begin{array}{l}\frac{x}{1}=\frac{y}{-4}\\ x-4y=34\\ x^2+y^2=68\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=-8\end{array}\Rightarrow 2x+y=4-8=-4$.