Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình ${\log }_5(2^x+1).{\log }_5(5.2^x+5)\ge m$ nghiệm đúng với mọi $x\ge 2$ là

Gọi $S$ là tập các số nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình $({\log }_{2}x+1)({\log }_{2}x-m+1)<0$ ($m$ là tham số). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ sao cho ứng với mỗi giá trị của $m$ thì số phần tử của tập $S$ không vượt quá $2021$.

Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho ứng với mỗi $a$ có đúng ba số nguyên $b$ thỏa mãn $(2^b-2)(a\cdot 3^b-20)<0$?

Xét tất cả các số thực $x,y$ sao cho $a^{4x-{\log }_{\sqrt{3}}a}\le 9^{68-y^2}$ với mọi số thực dương $a$. Khi biểu thức $P=2x^2+2y^2+x-4y$ đạt giá trị lớn nhất thì $2x+y$ bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình $(3^{x+1}-\sqrt{3})(3^x-2m)<0$ khác rỗng và chứa không quá $5$ số nguyên?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[0;100]$ để bất phương trình $4^{2x-m}-4\cdot 2^{3x-2m}+4\cdot 2^{x-m}<1$ nghiệm đúng với $\forall x\in (-\infty ;4]$?

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình $({\log }_2(x+2)+1)(3^x-m)<0$ chứa không quá $9$ số nguyên?