Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Đáy là tam giác $ABC$ có $\tan A=2$, $\tan B=3$ và chu vi bằng $4$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các cạnh $SB,SC$. Diện tích $S$ mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCKH$ gần bằng số nào dưới đây?

Gọi $AD$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, suy ra $\{\begin{array}{l}AB\perp BD\\ AC\perp CD\end{array}$ $(1)$.
Từ giả thiết $SA\perp (ABCD)$ ta có $\{\begin{array}{l}SA\perp BD\\ SA\perp CD\end{array}$ $(2)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\{\begin{array}{l}BD\perp (SAB)\\ CD\perp (SAC)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}BD\perp AH\\ CD\perp AK\end{array}$ $(3)$.
Từ giả thiết ta cũng có $\{\begin{array}{l}AH\perp SB\\ AK\perp SC\end{array}$ $(4)$.
Từ $(3)$ và $(4)$ ta có $\{\begin{array}{l}AH\perp (SBD)\\ AK\perp (ACD)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}AH\perp HD\\ AK\perp KD\end{array}$ $(5)$.
Từ $(1)$ và $(5)$ ta suy ra các điểm $A,B,C,H,K,D$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $AD$.
Trong tam giác $ABC$, từ giả thiết $\tan A=2,\tan B=3$ ta có
$\tan C=-\tan (A+B)=-\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=1\Rightarrow C=45^{\circ }$.
Lại có $\tan A=2\Rightarrow {\cos }^{2}A=\frac{1}{1+{\tan }^{2}A}=\frac{1}{5}\Rightarrow {\sin }^{2}A=\frac{4}{5}\Rightarrow \sin A=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Tương tự, $\tan B=3\Rightarrow {\cos }^{2}B=\frac{1}{1+{\tan }^{2}B}=\frac{1}{10}\Rightarrow {\sin }^{2}B=\frac{9}{10}\Rightarrow \sin B=\frac{3}{\sqrt{10}}$.
Theo định lý sin trong tam giác $ABC$ ta có
$AD=\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB+BC+AC}{\sin A+\sin B+\sin C}=\frac{4}{\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{3}{\sqrt{10}}+1}\approx 1,5685$.
Diện tích $S$ mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCKH$ gần bằng $\pi A{D}^2\approx 7,73$.