Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=x^3-3x^2+21$, Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để ứng với mỗi $m$ phương trình $f(x^2-3x-2)=m$ có tổng giá trị các nghiệm phân biệt bằng $9$.

Phương trình $f(x^2-3x-2)=m$ $(1)$.
Đặt $x-\frac{3}{2}=t$, $f(x^2-3x-2)=m\iff f\left(t^2-\frac{17}{4}\right)=m\iff {\left(t^2-\frac{17}{4}\right)}^3-3{\left(t^2-\frac{17}{4}\right)}^2+21=m$ $(2)$.
Đặt $t^2-\frac{17}{4}=a$, $(2)\iff a^3-3a+21=m$ $(3)$.
Tổng các nghiệm của phương trình $(2)$ luôn bằng $0$. Giả sử phương trình $(1)$ có $k$ nghiệm (nghiệm kép ta tính $2$ nghiệm), ta có
$x_1+x_2+\cdots +x_k=\left(t_1-\frac{3}{2}\right)+\left(t_2-\frac{3}{2}\right)+\cdots +\left(t_k-\frac{3}{2}\right)=t_1+t_2+\cdots +t_k+\frac{3k}{2}=\frac{3k}{2}\le \frac{3.6}{2}=9$
(do phương trình $(1)$ là bậc $6$ nên có tối đa $6$ nghiệm).
Theo bài ra tổng các nghiệm phân biệt cũng bằng $9$ nên yêu cầu bài toán tương đương với tìm $m$ nguyên để phương trình $(1)$ có $6$ nghiệm phân biệt $\iff a^3-3a+21=m$ có $3$ nghiệm lớn hơn $-\frac{17}{4}\iff 19<m<23$.
Vậy có $3$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.