Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+2z+1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}$. Hai mặt phẳng $(P),(P^{\prime })$ chứa $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $T$ và $T^{\prime }$. Tìm tọa độ trung điểm $H$ của $T{T}^{\prime }$?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-1{)}^2=9$, mặt phẳng $(P):x+2y+2z+5=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}{1}$. Xét các điểm $M,N$ thay đổi lần lượt nằm trên $(P)$ và $(S)$ sao cho $MN$ luôn song song với $d$. Hỏi giá trị lớn nhất của đoạn $MN$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M(6;0;0),N(0;6;0),P(0;0;6)$. Hai mặt cầu có phương trình $(S_1):x^2+y^2+z^2-2x-2y+1=0$ và $(S_2):x^2+y^2+z^2-8x+2y+2z+1=0$ cắt nhau theo đường tròn $(C)$. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $(C)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,NP,PM$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;1)$, $B(3;-1;1)$ và $C(-1;-1;1)$. Gọi $(S_1)$ là mặt cầu có tâm $A$, bán kính bằng $2$; $(S_2)$ và $(S_3)$ là hai mặt cầu có tâm lần lượt là $B,C$ và bán kính đều bằng $1$. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $(S_1),(S_2),(S_3)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;4;-2)$ và mặt phẳng $(P):(m^2+1)x+(m^2-1)y+2mz+4=0$. Biết rằng, khi tham số $m$ thay đổi thì mặt phẳng $(P)$ luôn tiếp xúc với $2$ mặt cầu cố định cùng đi qua $A$ là $(S_1),(S_2)$. Gọi $M$ và $N$ là hai điểm lần lượt nằm trên $(S_1)$ và $(S_2)$. Tìm GTLN của $MN$?

Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1;-2;0)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}$ và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=6$. Hai mặt phẳng $(P),(Q)$ chứa $d$ và cùng tiếp xúc với $(S)$ lần lượt tại $A,B$. Gọi $I$ là tâm mặt cầu $(S)$. Giá trị $\cos \widehat{AIB}$ bằng: