Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-1{)}^2=9$, mặt phẳng $(P):x+2y+2z+5=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}{1}$. Xét các điểm $M,N$ thay đổi lần lượt nằm trên $(P)$ và $(S)$ sao cho $MN$ luôn song song với $d$. Hỏi giá trị lớn nhất của đoạn $MN$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một thiết bị phát sóng wifi được đặt tại vị trí $I(3;4;2)$. Vùng phủ sóng của thiết bị là một hình cầu có bán kính $R=10\text{ m}$. Một người sử dụng điện thoại đứng ở vị trí $K(x-7;7;1)$. Sau đó, người đó di chuyển đến vị trí $H(x+11;7;1)$. Tìm giá trị nguyên của $x$ sao cho cả hai vị trí $K$ và $H$ đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z-10=0$. Tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ biết điểm $A(-1;2;0)$, $B(3;2;0)$, $C(3;4;0)$, $B^{\prime }(3;2;6)$. Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đã cho có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;1)$, $B(3;-1;1)$ và $C(-1;-1;1)$. Gọi $(S_1)$ là mặt cầu có tâm $A$, bán kính bằng $2$; $(S_2)$ và $(S_3)$ là hai mặt cầu có tâm lần lượt là $B,C$ và bán kính đều bằng $1$. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $(S_1),(S_2),(S_3)$?

Trong không gian cho hai điểm $I(2;3;3)$ và $J(4;-1;1)$. Xét khối trụ $(T)$ có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính $IJ$ và có hai tâm nằm trên đường thẳng $IJ$. Khi có thể tích $(T)$ lớn nhất thì hai mặt phẳng chứa hai đường tròn đáy của $(T)$ có phương trình dạng $x+by+cz+d_1=0$ và $x+by+cz+d_2=0$. Giá trị của $d_1^2+d_2^2$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-3;0)$ và bán kính bằng $3$. Phương trình của $(S)$ là: