Cho hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Biết hàm số $g(x)=f(x)+f^{\prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)$ có hai giá trị cực trị là $-3$ và $6$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{f(x)}{g(x)+6}$ và $y=1$ bằng

Nếu $G(x)$ là một nguyên hàm của $g(x)$ thì tích phân ${\int }_a^{b}g(x)dx$, có giá trị bằng

Diện tích hình thang cong $ABCD$ có hình vẽ bên bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng $A$ và $B$ lần lượt là $S_A=4$ và $S_B=10$. Tính giá trị của $f(3)$, biết giá trị của $f(0)=2$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f(0)=-2025$ và ${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=2024$, tính $f(1)$.

Trường Phan Đình Phùng có một khoảng sân được giới hạn bởi một đường parabol và một đường thẳng, diện tích của sân là $S$. Nếu đặt trong hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ thì parabol có phương trình $y=x^2$ và đường thẳng có phương trình là $y=25$. Ban Tổ Chức chương trình "Heo May-2007" cần một khoảng sân nhỏ để đặt Backdrop nên dự định chia diện tích $S$ thành hai phần bởi một đường thẳng đi qua hai điểm $O$ và $M(a;b)$, $a\ge 0$ trên parabol $(P)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol $y=x^2$ và đường thẳng $OM$ là $S_1$ (Phần tô đậm trên hình minh họa). Biết rằng $S_1$ chiếm $2,7\%$ so với toàn bộ diện tích $S$, tính $a+b$.

Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$ như hình vẽ dưới đây. Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-2,x=3$. Diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ được tính theo công thức nào dưới đây?