Diện tích hình thang cong $ABCD$ có hình vẽ bên bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng $A$ và $B$ lần lượt là $S_A=4$ và $S_B=10$. Tính giá trị của $f(3)$, biết giá trị của $f(0)=2$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f(0)=-2025$ và ${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=2024$, tính $f(1)$.

Trường Phan Đình Phùng có một khoảng sân được giới hạn bởi một đường parabol và một đường thẳng, diện tích của sân là $S$. Nếu đặt trong hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ thì parabol có phương trình $y=x^2$ và đường thẳng có phương trình là $y=25$. Ban Tổ Chức chương trình "Heo May-2007" cần một khoảng sân nhỏ để đặt Backdrop nên dự định chia diện tích $S$ thành hai phần bởi một đường thẳng đi qua hai điểm $O$ và $M(a;b)$, $a\ge 0$ trên parabol $(P)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol $y=x^2$ và đường thẳng $OM$ là $S_1$ (Phần tô đậm trên hình minh họa). Biết rằng $S_1$ chiếm $2,7\%$ so với toàn bộ diện tích $S$, tính $a+b$.

Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$ như hình vẽ dưới đây. Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-2,x=3$. Diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ được tính theo công thức nào dưới đây?

Nếu ${\int }_6^{-2}f(x)dx=2$ thì ${\int }_{-1}^{3}f(2x)dx$ bằng:

Nếu ${\int }_0^{3}f(x)dx=-1$ và ${\int }_0^{3}2g(x)dx=3$ thì ${\int }_0^3[f(x)-3g(x)]dx$ bằng: