Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}$ và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=6$. Hai mặt phẳng $(P),(Q)$ chứa $d$ và cùng tiếp xúc với $(S)$ lần lượt tại $A,B$. Gọi $I$ là tâm mặt cầu $(S)$. Giá trị $\cos \widehat{AIB}$ bằng:

Cho hình cầu đường kính $2a\sqrt{5}$. Mặt phẳng $(P)$ cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có bán kính bằng $a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng $(P)$.

Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rađa có thể phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một hình tròn với bán kính 450 km và chiều cao 30 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục $Oz$ hướng lên cao và gốc tọa độ $O$ trùng với vị trí của rađa (tham khảo hình vẽ bên), mỗi đơn vị trên trục là 1 km. Một tên lửa được phóng lên cao, bắt đầu từ vị trí $A(30;-780;60)$, dự định bay thẳng với vận tốc không đổi 7 km/giây hướng thẳng đến vị trí của rađa. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rađa phát hiện đến khi nó bắn trúng rađa là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-1;0)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x+2y-z+9=0$?

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x+2y+z+2=0$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-2;2;-2),B(3;-3;3),C(-5;4;-4)$. Tập hợp tất cả các điểm $M$ thay đổi thỏa mãn $\frac{MA}{MB}=\frac{2}{3}$ là mặt cầu $(S)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $C$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ và cắt $(S)$ theo thiết diện là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là