Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x^2-82x$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=f(x^4-18x^2+m)$ có đúng $7$ điểm cực trị?

Ta có $y^{\prime }=(4x^3-36x)f^{\prime }(x^4-18x^2+m)=0\iff x\in \{0,\pm 3\}$ hoặc $x^4-18x^2=-m$ hoặc $x^4-18x^2=82-m$. Hàm số $g(x)=x^4-18x^2$ đạt cực tiểu bằng $-81$ tại $x=\pm 3$ và cực đại bằng $0$ tại $x=0$. Để hàm số có đúng $7$ điểm cực trị thì một phương trình có $4$ nghiệm đơn và phương trình kia vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, mà $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $-81<82-m<0\iff 82<m<163$, có $80$ giá trị nguyên dương của $m$.