Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x+2y+z+2=0$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ và cắt $(S)$ theo thiết diện là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-3{)}^2=8$ và hai điểm $A(4;4;3),B(1;1;1)$. Gọi $(C)$ là tập hợp các điểm $M\in (S)$ để $MA-2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng $(C)$ là một đường tròn bán kính $r$. Tính $r$.

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là cm), mặt sàn nhà đa năng thuộc mặt phẳng $Oxy$. Một quả cầu bằng nhựa nằm trên mặt sàn nhà đa năng và có tâm $I(12;20;35)$. Khi đó, mặt ngoài của quả cầu nhựa $(S)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A(4;0;0)$, $B(0;8;0)$, $C(0;0;12)$, $D(-1;7;-9)$ và $M$ là một điểm nằm ngoài mặt cầu $(S)$ ngoại tiếp tứ diện $OABC$. Các đường thẳng $MA,MB,MC,MO$ lần lượt cắt mặt cầu $(S)$ tại các điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },O^{\prime }$ (khác $A,B,C,O$) sao cho $\frac{MA}{M{A}^{\prime }}+\frac{MB}{M{B}^{\prime }}+\frac{MC}{M{C}^{\prime }}+\frac{MO}{M{O}^{\prime }}=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MD+MO$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$, $(Q):2x-y+2z-1=0$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời $(S)$ cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3 và $(S)$ cắt mặt phẳng $(Q)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng $r$. Xác định $r$ sao cho chỉ có đúng một mặt cầu $(S)$ thỏa yêu cầu.

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I(2;-1;-1)$ và mặt phẳng $(P):x-2y-2z+3=0$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$.