Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là cm), mặt sàn nhà đa năng thuộc mặt phẳng $Oxy$. Một quả cầu bằng nhựa nằm trên mặt sàn nhà đa năng và có tâm $I(12;20;35)$. Khi đó, mặt ngoài của quả cầu nhựa $(S)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A(4;0;0)$, $B(0;8;0)$, $C(0;0;12)$, $D(-1;7;-9)$ và $M$ là một điểm nằm ngoài mặt cầu $(S)$ ngoại tiếp tứ diện $OABC$. Các đường thẳng $MA,MB,MC,MO$ lần lượt cắt mặt cầu $(S)$ tại các điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },O^{\prime }$ (khác $A,B,C,O$) sao cho $\frac{MA}{M{A}^{\prime }}+\frac{MB}{M{B}^{\prime }}+\frac{MC}{M{C}^{\prime }}+\frac{MO}{M{O}^{\prime }}=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MD+MO$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$, $(Q):2x-y+2z-1=0$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời $(S)$ cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3 và $(S)$ cắt mặt phẳng $(Q)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng $r$. Xác định $r$ sao cho chỉ có đúng một mặt cầu $(S)$ thỏa yêu cầu.

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I(2;-1;-1)$ và mặt phẳng $(P):x-2y-2z+3=0$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=16$. Từ điểm $A(1;3;6)$ kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu $(S)$, biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến đó luôn thuộc một đường tròn $(C)$ có tâm $K(m;n;p)$. Giá trị $T=m+n+p$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y-7}{-2}=\frac{z-7}{1}$, mặt phẳng $(P):2x-2y+z-19=0$ và hai điểm $A(7;1;4),B(-5;1;-2)$. Điểm $M$ di chuyển trên mặt phẳng $(P)$ sao cho góc $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ và khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$ là nhỏ nhất. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

Tòa nhà Ericsson Globe (nay còn được gọi là Avicii Arena) là công trình rất nổi tiếng ở Stockholm, Thụy Điển, tòa nhà này có dạng là một phần của mặt cầu với đường kính $110\text{ m}$ và chiều cao bên trong $85\text{ m}$. Nó có đủ chỗ ngồi cho $16000$ khán giả của các buổi biểu diễn hòa nhạc hoặc $13850$ khán giả của các trận đấu khúc côn cầu trên băng. Giả sử tòa nhà được mô phỏng bởi một mặt cầu $(S)$ đặt trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ có tâm $I$, đường kính $110\text{ m}$ và $OA=85\text{ m}$ như hình vẽ dưới. Biết rằng mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, đơn vị trên trục là mét.