Cho hàm số $y=\frac{x^2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.

Ta có $y=\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$.
a) Đúng. Tiệm cận xiên là $d:y=x+1$, cắt hai trục tọa độ tại $A(-1;0)$ và $B(0;1)$, tạo thành tam giác $OAB$ vuông tại $O$ có diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$.
b) Sai. Với $M\left(x_0;x_0+1+\frac{1}{x_0-1}\right)\in (C)$, tổng khoảng cách đến tiệm cận đứng ${\Delta }_1:x-1=0$ và tiệm cận xiên ${\Delta }_2:x-y+1=0$ là $d=|x_0-1|+\frac{1}{\sqrt{2}|x_0-1|}\ge 2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2\sqrt{2}}\ne \sqrt{2}$.
c) Sai. Tiệm cận đứng của $(C)$ có phương trình là $x=1$ (không phải $y=1$).
d) Đúng. Ta có $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Hai điểm cực trị là $O(0;0)$ và $E(2;4)$, nên $OE=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$.