Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ tâm $O$, $SO\perp (ABCD)$, $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, $OB=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Góc phẳng nhị diện $[A,BC,S]$ có số đo bằng $a^{\circ },a>0$. Giá trị của $a$ bằng

Cho khối nón $(N)$ đỉnh $S$, có chiều cao là $a\sqrt{3}$ và độ dài đường sinh là $3a$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua đỉnh $S$, cắt và tạo với mặt đáy của khối nón một góc $60^{\circ }$. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(P)$ và khối nón $(N)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ xuống mặt đáy nằm trong hình vuông $ABCD$. Hai mặt phẳng $(SAD),(SBC)$ vuông góc với nhau; góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ là $60^{\circ }$; góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ là $45^{\circ }$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$, tính $\cos \alpha$.

Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bất kì của một tứ diện đều.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $(AC{D}^{\prime })$ và $(ABCD)$. Giá trị của $\tan \alpha$ bằng:

Cho hai hình vuông $ABCD$, $ABEF$ nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. $M$ là tâm của hình vuông $ABEF$. Cosin góc giữa hai mặt phẳng $(MCD),(EFCD)$ bằng

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }=a$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $BC=2a\sqrt{3}$ (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ bằng