Từ tập hợp số tự nhiên $\{1;2;3;\dots ;25;26\}$, bạn An cần chọn ra $10$ số phân biệt để gán vào $10$ ô vuông đơn vị như hình vẽ. Gọi $S$ là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô $A,B,C,D$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính giá trị $\frac{S}{8}$.

Do mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới và trong cùng một hàng số bên trái nhỏ hơn số bên phải, khi chọn bộ $4$ số $(a,b,c,d)$ lập thành cấp số cộng với công sai $d_0\ge 1$ cho các ô $A,B,C,D$: ô $A$ ở hàng 1 (1 ô) là số nhỏ nhất; hàng 2 có 2 ô và $B$ là ô phải nên cần chọn thêm $1$ số giữa $a$ và $b$ (có $d_0-1$ cách); hàng 3 có 3 ô và $C$ là ô phải nên cần chọn thêm $2$ số giữa $b$ và $c$ (có $C_{d_0-1}^2$ cách); hàng 4 có 4 ô và $D$ là ô phải nên cần chọn thêm $3$ số giữa $c$ và $d$ (có $C_{d_0-1}^3$ cách).
Với công sai $d_0\in \{4,5,6,7,8\}$, số cách chọn $(a,b,c,d)$ trong $\{1,\dots ,26\}$ là $26-3d_0$.
Do đó $S=\sum _{d_0=4}^8(26-3d_0)(d_0-1)C_{d_0-1}^2{C}_{d_0-1}^3=24472$, suy ra $\frac{S}{8}=3059$.