Trên đường đi từ nhà Mạnh tại vị trí điểm $M$ đến trường tại vị trí điểm $C$ có vị trí điểm $A$ người ta đang thi công sửa chữa đường nên không thể đi qua được. Biết rằng toàn bộ cung đường theo bản đồ từ dưới lên trên và từ trái qua phải là đường một chiều nên Mạnh chỉ được phép đi lên hoặc đi sang phải. Vậy Mạnh có bao nhiêu cách đi từ nhà đến trường?

Cho một lưới ô vuông $6\text{ cm}\times 6\text{ cm}$. Trên lưới có một vết dầu nằm ở vị trí giữa lưới như trong hình vẽ bên. Có bao nhiêu hình chữ nhật có diện tích lớn hơn $2{\text{ cm}}^2$ và bị "dính vết dầu"? Lưu ý:
- Hình chữ nhật (bao gồm cả hình vuông) có các cạnh nằm trên các đường kẻ của lưới ô vuông.
- "Dính vết dầu" được hiểu là dính toàn bộ hoặc dính một phần của vết dầu.
- Ô vuông $1\text{ cm}\times 1\text{ cm}$ được đánh dấu $\star$ không dính vết dầu.

Tập hợp $A=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$. Từ tập $A$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số khác nhau sao cho số $1$ luôn đứng trước số $2$ (chữ số $1$ có thể đứng cạnh hoặc không đứng cạnh chữ số $2$)?

Có $11$ thí sinh, mỗi thí sinh ngồi vào một ô trong phòng thi như hình vẽ. Giám thị có $4$ mã đề khác nhau (giả sử số lượng đề mỗi mã là nhiều tùy ý). Số cách phát đề cho các thí sinh, mỗi thí sinh $1$ đề sao cho $2$ thí sinh ngồi ở $2$ ô kề nhau ($2$ ô có chung một cạnh) thì khác mã đề là $p$. Tính $\frac{p}{49}$

Hệ thống gồm các vật như sau được gọi là **máng n**:
- Một máng nghiêng có $n$ lỗ dọc theo đáy. Tính từ trên cao xuống, các lỗ lần lượt có đường kính là $1,2,3,\dots ,n$.
- $n$ quả bóng có đường kính là các số nguyên dương không lớn hơn $n$, trong đó có thể có nhiều quả bóng có cùng đường kính.
(hình vẽ dưới đây mô tả **máng 4**)

Xét **máng n**, thả lăn $n$ quả bóng từ đỉnh máng xuống, lần lượt từng quả. Đối với mỗi quả bóng, khi lăn đến lỗ có đường kính lớn hơn hoặc bằng đường kính của nó thì nó sẽ lọt vào đồng thời đóng lỗ này lại. Đối với một thứ tự các quả bóng sau khi thả lăn, nếu các quả bóng đều lọt vào lỗ thì thứ tự các quả bóng ấy được gọi là **dãy đẹp**.

Hai **dãy đẹp** giống nhau khi và chỉ khi thứ tự bán kính của bóng lọt lỗ là như nhau.

Có thể tạo được bao nhiêu **dãy đẹp** khác nhau đối với **máng 5** biết rằng có đúng một quả có đường kính là $4$ và một quả có đường kính là $5$?

Hai bạn An và Bình cùng chơi trò chơi đánh cờ carô trên một bảng ô vuông kích thước $3\times 3$ (gồm $9$ ô trống). Luật chơi quy định An đi trước, mỗi lượt điền một dấu “X” vào một ô trống và Bình đi sau, mỗi lượt điền một dấu “O” vào một ô trống. Trò chơi kết thúc và xác định được người chiến thắng nếu người đó tạo được $3$ dấu của mình nằm liên tiếp nhau trên cùng một hàng ngang, hàng dọc hoặc đường chéo. Hỏi có tất cả bao nhiêu trình tự các nước đi để ván cờ kết thúc chính xác ở nước đi thứ $5$ với An là người giành chiến thắng?

Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số phân biệt, trong đó có mặt cả hai chữ số $2$ và $3$?