Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-1-2i|=\sqrt{20}$. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=|z+3-10i|+2|z-6-8i|+3|z-4-8i|$ là số có dạng $2a\sqrt{b}+c\sqrt{d}$ trong đó $a,b,c,d$ là các số nguyên tố. Khi đó $a^2+b^2+c^2+d^2$ bằng

Cho số phức $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) thỏa mãn $4(z-\bar{z}{)}^2-16i=i(z+\bar{z}-1{)}^2$ và $|z-1+3i|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S=4b-2a$.

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao $80\text{ m}$ sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi $500\text{ km}$ được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho tia $Ox$ hướng về phía tây, tia $Oy$ hướng về phía nam, tia $Oz$ hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình 1) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét). Một máy bay tại vị trí $A$ cách mặt đất $10\text{ km}$, cách $300\text{ km}$ về phía đông và $200\text{ km}$ về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu.

Hệ thống phòng không “Vòm sắt” là một trong những hệ thống đánh chặn tầm ngắn hiệu quả nhất thế giới. Để “Vòm sắt” hoạt động được chính xác người ta thiết lập một hệ thống radar phát hiện tên lửa với bán kính 417 km. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (mặt đất thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, radar đặt tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$, đơn vị đo độ dài trên mỗi trục ứng với 1 km). Một tên lửa bay từ một điểm có tọa độ $A(86;347;8)$ được phóng lên và bay theo một quỹ đạo là đường thẳng đến điểm mục tiêu có tọa độ $B(10;25;0)$.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Trong không gian $Oxyz$, chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy km, ra đa phát hiện một máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Khi bay đến điểm $N$, nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $Q(a;b;c)$. Tính giá trị biểu thức $S=a-b-2c$.

Xét các số phức $z$ thỏa mãn $|z-i|=2$. Biết rằng biểu thức $P=|z+3i|+2|z-5-i|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Khi đó, giá trị của tổng $x+y$ bằng

Cho số phức z có phần thực không âm và z = 1 , gọi số phức w sao cho ( z + 1)( w − z ) là số thuần ảo. Khi w = 2 và w − z đạt giá trị nhỏ nhất hãy tính giá trị của w − 1 . 2 3