Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=3$ và ba điểm $A(3;5;7),B(5;5;5),C(3;4;5)$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho biểu thức $T=MA+MB+2024MC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $a+2b+3c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z+2{)}^2=8$ có tâm $I$ là

Khối cầu có bán kính $R=2$, có thể tích bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x-4y-2z+4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{4}$. Hai mặt phẳng $(P),(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ lần lượt tại $M,N$. Gọi $H(a;b;c)$ là trung điểm của $MN$. Khi đó tích $abc$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;-3)$ và đi qua điểm $M(4;0;0)$. Phương trình của $(S)$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (một đơn vị trên mỗi trục tương ứng với một km trên thực tế), xét một vùng phòng thủ hình cầu $(S):x^2+y^2+z^2=49$ và một hành lang bay an toàn được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song $(P_1):x+y+z=5$ và mặt phẳng $(P_2):x+y+z=-5$. Một máy bay trinh sát bắt đầu xâm nhập khu vực từ điểm $M_0(6;0;0)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;1;1)$. Tính chiều dài đoạn đường bay của máy bay nằm hoàn toàn trong phần giao của hành lang bay an toàn và vùng phòng thủ hình cầu (đơn vị: km).

Tính diện tích mặt cầu có bán kính bằng $2$.