Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x-4y-2z+4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{4}$. Hai mặt phẳng $(P),(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ lần lượt tại $M,N$. Gọi $H(a;b;c)$ là trung điểm của $MN$. Khi đó tích $abc$ bằng

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z = 0 , xác định phương trình mặt cầu tâm I (1; 2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ).

Trong hệ trục Oxyz cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 + z 2 = 6 và điểm M (3;5; 4). Mặt phẳng ( P ) thay đổi luôn cắt mặt cầu ( S ) có đường tròn giao tuyến với bán kính r = 2 . Khi khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) lớn nhất thì phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng x + by + cz + d =0. Tính giá trị của b + c + d .

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+2z+1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}$. Hai mặt phẳng $(P),(P^{\prime })$ chứa $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $T$ và $T^{\prime }$. Tìm tọa độ trung điểm $H$ của $T{T}^{\prime }$?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-1{)}^2=9$, mặt phẳng $(P):x+2y+2z+5=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}{1}$. Xét các điểm $M,N$ thay đổi lần lượt nằm trên $(P)$ và $(S)$ sao cho $MN$ luôn song song với $d$. Hỏi giá trị lớn nhất của đoạn $MN$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M(6;0;0),N(0;6;0),P(0;0;6)$. Hai mặt cầu có phương trình $(S_1):x^2+y^2+z^2-2x-2y+1=0$ và $(S_2):x^2+y^2+z^2-8x+2y+2z+1=0$ cắt nhau theo đường tròn $(C)$. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $(C)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,NP,PM$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;1)$, $B(3;-1;1)$ và $C(-1;-1;1)$. Gọi $(S_1)$ là mặt cầu có tâm $A$, bán kính bằng $2$; $(S_2)$ và $(S_3)$ là hai mặt cầu có tâm lần lượt là $B,C$ và bán kính đều bằng $1$. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $(S_1),(S_2),(S_3)$?